Ganzrationale Funktionen – Schritt für Schritt

Erklärung

1 · Sie kennen die schon

Zwei Funktionen, die Sie längst benutzt haben:

f(x) = −³⁄₄ x + 1g(x) = −¹⁄₂ x² + 3x − 4

Die erste ist linear, die zweite quadratisch. Beide sind ganzrationale Funktionen. Der neue Name fasst also nur zusammen, was Sie schon kennen — und erweitert es auf höhere Hochzahlen.

Andere Wörter für dasselbe: Polynomfunktion oder kurz Polynom.

Die Idee in einem Satz

Eine ganzrationale Funktion besteht nur aus Potenzen von x mit den Hochzahlen 0, 1, 2, 3, … Jede Potenz wird mit einer Zahl multipliziert, und alles wird addiert oder subtrahiert.

Die drei Kontrollfragen

Stehen über dem x nur Hochzahlen wie 0, 1, 2, 3, …? (Kein Minus, kein Bruch.)
Steht x nie unter einem Bruchstrich?
Steht x nie unter einer Wurzel?

Dreimal ja → ganzrational. Einmal nein → nicht ganzrational.

x ohne sichtbare Hochzahl heißt x¹. Eine reine Zahl wie 7 gehört auch dazu — warum, kommt in Schritt 2.

Rechnen

Erkennen

A 1

Welche dieser Funktionen sind ganzrational? Tippen Sie alle passenden an.

Gehen Sie jede Zeile mit den drei Kontrollfragen durch. Bei 2^x steht das x oben — das ist keine Potenz von x, sondern eine Potenz von 2.

Ganzrational sind: 3x²+1, die 7 und x³−2x. Nicht ganzrational: 1:x (x im Nenner), √x (x unter der Wurzel), 2^x (x als Hochzahl).

Erklärung

2 · Der Grad

Der Grad einer ganzrationalen Funktion ist die höchste Hochzahl, die beim x vorkommt. Mehr steckt nicht dahinter.

Funktion	höchste Hochzahl	Grad
f(x) = x³ − 2x	x³	3
g(x) = 4x − x⁵ + 2	x⁵	5
h(x) = 6x	x¹	1
i(x) = 8	x⁰	0

Zwei Stolperstellen

1. Die Summanden müssen nicht sortiert sein. Suchen Sie die größte Hochzahl, nicht die erste.
2. Eine reine Zahl hat Grad 0, denn 8 = 8 · x⁰ — und x⁰ ist 1.

x⁰ = 1 gilt für jedes x außer 0. Deshalb darf man jede Zahl heimlich mit x⁰ schreiben.

Rechnen

Grad bestimmen

A 2

Tragen Sie jeweils den Grad ein.

a) f(x) = 2x⁴ − x + 9 → Grad

b) g(x) = 5 − 3x² + x⁷ → Grad

c) h(x) = −12 → Grad

d) i(x) = 6x → Grad

e) j(x) = x² − x⁹ + 4x³ → Grad

Bei b) und e) steht die größte Hochzahl nicht vorne. Bei c) kommt gar kein x vor — das ist der Fall x⁰.

a) 4 b) 7 c) 0 d) 1 e) 9

Erklärung

3 · Jeder Grad hat einen Namen

Die niedrigen Grade haben eigene Namen, die höheren werden einfach durchnummeriert.

Grad	Beispiel	Name
0	f(x) = 2	konstante Funktion
1	g(x) = −3x + 0,4	lineare Funktion
2	h(x) = x² + 5	quadratische Funktion
3	i(x) = x³ − 2x²	kubische Funktion
4	k(x) = 3x⁴ + 3	Funktion 4. Grades
5	l(x) = x⁵ − x	Funktion 5. Grades

Ab Grad 4 wird es bequem

Man sagt einfach „Funktion 4. Grades“, „Funktion 10. Grades“, … Für Grad 4 hört man zusätzlich den Namen biquadratische Funktion.

Konstant heißt: Der Funktionswert ändert sich nie. Der Graph ist eine waagerechte Gerade.

Rechnen

Namen zuordnen

A 3

Wählen Sie zu jedem Grad die passende Bezeichnung.

Grad 0 →

Grad 2 →

Grad 3 →

Grad 10 →

Grad 0 konstante Funktion · Grad 2 quadratische Funktion · Grad 3 kubische Funktion · Grad 10 Funktion 10. Grades

A 4

Grad ablesen und benennen.

i(x) = x³ − 2x² + 4x − ¹⁄₁₀

Grad , also eine

k(x) = 3x⁴ + 0,6x² + 3

Grad , also eine

Der Bruch ¹⁄₁₀ am Ende ist nur eine Zahl ohne x. Er verändert den Grad nicht.

i(x): Grad 3, kubische Funktion. k(x): Grad 4, Funktion 4. Grades (biquadratisch).

Erklärung

4 · Was nicht dazugehört

Diese beiden sehen harmlos aus, sind aber nicht ganzrational:

u(x) = ¹⁄_xv(x) = √x

Der Grund wird sichtbar, wenn man sie als Potenz schreibt:

u(x) = x⁻¹v(x) = x^0,5

Die Hochzahl ist einmal negativ und einmal ein Bruch. Erlaubt sind aber nur 0, 1, 2, 3, …

erlaubtx⁰, x¹, x², x³, x¹⁰⁰ — jeweils mal eine Zahl, dann addiert

nicht erlaubtx im Nenner, x unter der Wurzel, x als Hochzahl, x im Betrag oder in sin/cos

Die Gemeinsamkeit der ganzen Tabelle

Das x steht immer unten als Basis, die Hochzahl ist eine natürliche Zahl, und vor jeder Potenz steht nur eine Zahl. Sonst nichts.

Vorsicht bei Brüchen: ^x⁄₄ ist erlaubt (das ist 0,25 · x). ⁴⁄_x ist es nicht. Entscheidend ist, wo das x steht.

Rechnen

Sortieren

A 5

Tippen Sie nur die ganzrationalen Funktionen an.

Schauen Sie bei den Brüchen genau hin: Steht das x oben oder unten?

Ganzrational: 3x⁵−x, 0,5x²+4 und x:4+2. Bei 1:x³ und 4:x steht x im Nenner, bei √x+1 unter der Wurzel.

A 6

Schreiben Sie in einem Satz auf: Was unterscheidet eine ganzrationale Funktion von einer nicht ganzrationalen?

Musterlösung: Bei einer ganzrationalen Funktion kommt x nur als Potenz mit einer natürlichen Hochzahl (0, 1, 2, 3, …) vor. Jede Potenz wird mit einer reellen Zahl multipliziert und die Summanden werden addiert. Steht x im Nenner, unter einer Wurzel oder als Hochzahl, ist die Funktion nicht ganzrational.

Erklärung

5 · Die Koeffizienten

Der Koeffizient ist die Zahl, die vor einer Potenz steht. Mehr ist es nicht — aber bei drei Stellen verrechnet man sich leicht.

Beispiel, ganz langsam

f(x) = 3x² − 2x + 7

Potenz	davor steht	Koeffizient
x²	3	a₂ = 3
x¹	−2	a₁ = −2
x⁰	7	a₀ = 7

Drei Fallen

1. Das Vorzeichen gehört dazu: bei −2x ist der Koeffizient −2, nicht 2.
2. Steht keine Zahl da, ist es eine 1: x³ heißt 1 · x³.
3. Fehlt eine Potenz, ist ihr Koeffizient 0.

Falle 3 sieht so aus: In f(x) = x³ − x + 7 kommt kein x² vor. Also ist a₂ = 0. Man kann die Funktion auch so schreiben:

f(x) = 1x³ + 0x² − 1x + 7

Der unterste Koeffizient a₀ ist immer die Zahl ohne x. Kommt keine vor, ist a₀ = 0.

Rechnen

Koeffizienten ablesen

A 7

f₁(x) = 3x² − 2x + 7

Grad:

a₂ = a₁ = a₀ =

Grad 2, a₂ = 3, a₁ = −2, a₀ = 7

A 8

f₂(x) = x³ − x + 7 — hier fehlt etwas.

Grad:

a₃ = a₂ = a₁ = a₀ =

Vor x³ steht keine Zahl — also 1. Ein x² kommt nicht vor — also 0. Und −x heißt −1 · x.

Grad 3, a₃ = 1, a₂ = 0, a₁ = −1, a₀ = 7

A 9

f₃(x) = −x⁴ + 2x³ − 5

a₄ = a₃ = a₂ = a₁ = a₀ =

a₄ = −1, a₃ = 2, a₂ = 0, a₁ = 0, a₀ = −5. Zwei Potenzen fehlen, also zwei Nullen.

Erklärung

6 · Die Bauanleitung

Bisher hießen die Koeffizienten a, b, c. Ab jetzt heißen sie a₂, a₁, a₀ — gleiche Sache, andere Schreibweise:

f(x) = ax² + bx + c=a₂x² + a₁x + a₀

Die kleine Zahl unten rechts heißt Index (Mehrzahl: Indizes). Sie rechnet nicht mit, sie nummeriert nur: a₅ ist das „fünfte a“. Praktisch ist das, weil das Alphabet bei Grad 27 aufhören würde — Indizes gehen immer weiter.

So sieht die allgemeine Bauanleitung aus:

f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₂x² + a₁x¹ + a₀x⁰

Lesen Sie sie von rechts nach links: Die Hochzahlen starten bei 0 und steigen um 1, bis der Grad n erreicht ist. Die drei Punkte stehen für alles dazwischen.

Heißt das, der Grad ist mindestens 3?

Nein. Man sieht in der Bauanleitung zwar x⁰, x¹, x², x³ — aber wie weit es tatsächlich geht, bestimmt allein der Grad n.

Grad	allgemeine Funktionsgleichung
4	a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x¹ + a₀x⁰
3	a₃x³ + a₂x² + a₁x¹ + a₀x⁰
2	a₂x² + a₁x¹ + a₀x⁰
1	a₁x¹ + a₀x⁰
0	a₀x⁰ = a₀

Zählen Sie nach: Bei Grad n gibt es n + 1 Koeffizienten, weil die 0 mitzählt.

Rechnen

Bauanleitung lesen

A 10

Welche Zeile ist die allgemeine Funktionsgleichung vom Grad 3?

Index und Hochzahl gehören zusammen: a₃ gehört zu x³, a₀ zu x⁰. Und keine Potenz darf fehlen.

Richtig ist die mittlere Zeile. In der ersten fehlen x¹ und x⁰, in der dritten passen Index und Hochzahl nicht zusammen.

A 11

Kurz nachgedacht:

Wie viele Koeffizienten hat eine Funktion vom Grad 5?

Wie heißt der Koeffizient vor x⁸ bei Grad 9?

Zu welcher Potenz gehört a₀? x hoch

Schreiben Sie bei Grad 5 die Indizes einfach auf: a₅, a₄, a₃, a₂, a₁, a₀ — und zählen Sie.

6 Koeffizienten (n + 1) · der Koeffizient heißt a₈ · a₀ gehört zu x⁰.

Erklärung

7 · Rückwärts bauen

Jetzt dieselbe Sache andersherum: Sie bekommen Grad und Koeffizienten und schreiben die Funktionsgleichung auf. Das geht in drei Schritten.

Schritt 1 — Gerüst hinschreiben

Der Grad sagt, wie viele Plätze es gibt. Bei Grad 3:

f(x) = a₃x³ + a₂x² + a₁x¹ + a₀x⁰

Schritt 2 — Zahlen einsetzen

Für a₃ = 2, a₂ = 0, a₁ = −5, a₀ = 1:

f(x) = 2x³ + 0x² − 5x¹ + 1x⁰

Schritt 3 — Aufräumen

Summanden mit 0 fallen weg, x¹ wird zu x, x⁰ verschwindet ganz:

f(x) = 2x³ − 5x + 1

Beim Aufräumen

0 · x^irgendwas = 0 → streichen. 1 · x² = x² → die 1 kann weg. Aber: a₀ = 1 bleibt als + 1 stehen.

Lassen Sie sich von großen Graden nicht schrecken. Auch bei Grad 7 machen Sie genau diese drei Schritte.

Rechnen

Gleichung aufstellen

A 12

Grad 2, alle Koeffizienten a_i haben den Wert 1. Wie lautet die Gleichung?

Gerüst: a₂x² + a₁x¹ + a₀x⁰. Setzen Sie überall 1 ein und räumen Sie auf.

f(x) = x² + x + 1. Aus 1x² + 1x¹ + 1x⁰ wird nach dem Aufräumen genau das.

A 13

Grad 7, dazu: a₅ = a₄ = a₀ = 0 · a₇ = a₁ = −¹⁄₇ · a₆ = 3 · a₃ = −100 · a₂ = 102. Tragen Sie zuerst alle Koeffizienten ein (Brüche als −1/7).

a₇ = a₆ = a₅ = a₄ =

a₃ = a₂ = a₁ = a₀ =

a₇ und a₁ haben denselben Wert. Und drei Koeffizienten sind 0 — die fallen später weg.

Eingesetzt:
f(x) = −¹⁄₇x⁷ + 3x⁶ + 0x⁵ + 0x⁴ − 100x³ + 102x² − ¹⁄₇x¹ + 0x⁰
Aufgeräumt:
f(x) = −¹⁄₇x⁷ + 3x⁶ − 100x³ + 102x² − ¹⁄₇x

Spickzettel

8 · Alles auf einen Blick

1 · Was ist es?

Nur Potenzen von x mit Hochzahlen 0, 1, 2, 3, …, jeweils mal eine Zahl, alles addiert.

2 · Grad

Die höchste Hochzahl. Reine Zahl → Grad 0. Nicht von der Reihenfolge täuschen lassen.

3 · Nicht dazu gehören

x im Nenner, x unter der Wurzel, x als Hochzahl.

4 · Koeffizienten

Die Zahl vor der Potenz, mit Vorzeichen. Nichts davor → 1. Potenz fehlt → 0.

5 · Bauanleitung

f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x¹ + a₀x⁰, also n + 1 Koeffizienten.

Wenn ein Punkt noch wackelt: zurück zu dem Schritt, statt auswendig zu lernen.

Endcheck

Alles gemischt

A 14

Vier Fragen quer durch alles.

g(x) = 4 − 2x⁶ → Grad , a₆ = , a₀ =

Ist h(x) = x² + √x ganzrational?

Wie viele Koeffizienten hat eine kubische Funktion?

Grad 1, a₁ = 0,5 und a₀ = −3 ergibt f(x) =

Bei der letzten Frage: a₁ gehört zu x¹, a₀ ist die Zahl ohne x.

Grad 6, a₆ = −2, a₀ = 4 · nein (√x) · 4 Koeffizienten (Grad 3) · f(x) = 0,5x − 3

Geschafft.

Alle 14 Aufgaben sind erledigt. Schwierige Stellen noch einmal ansehen: Schritt 5 (Koeffizienten) und Schritt 7 (rückwärts bauen) sind die, an denen es in Klausuren am häufigsten hakt.